Decidir · Nivel 6

Cuánto vale
una apuesta

Una rifa del colegio: doscientas papeletas a 5 €, y un premio de 700 €. Recaudan 1.000 y reparten 700, así que cada papeleta vale 3,50 € y cuesta 5. Pierdes 1,50 € cada vez que compras una, ganes o pierdas. Y no pasa nada, porque es para el viaje de fin de curso. El problema empieza cuando la cuenta no se hace y la decisión es otra.

Probabilidad por lo que te llevas, sumado

Una apuesta tiene ramas. Cada rama tiene una probabilidad y un resultado. Lo que vale la apuesta es multiplicar cada rama por lo suyo y sumar. Eso es todo, y se hace de cabeza.

Con la rifa: una papeleta de doscientas gana 700 € y las otras ciento noventa y nueve ganan cero. 700 ÷ 200 = 3,50 €. Cuesta 5, así que la diferencia es lo que se queda el colegio. Todas las rifas y todos los sorteos funcionan así: reparten menos de lo que recaudan, y ese hueco es el negocio o la causa benéfica. No es un truco escondido, es la definición.

Lo interesante es lo que hace ese número con las decisiones que sí importan:

• Un 60% de ganar 100 € y un 40% de perder 100 € vale +20 € por jugada. Es una buena apuesta.
• Una inversión con un 90% de ganar el 10% y un 10% de perderlo todo vale 0,99: pierdes un 1% cada vez. Suena bien y es mala.

Fíjate en la segunda. Nueve de cada diez veces sales contento, y aun así el negocio pierde dinero. Ganar casi siempre no significa nada si la vez que pierdes lo pierdes todo.

Y la cadena, que es la que sorprende

Cuando una cosa depende de que salgan bien varias, las probabilidades se multiplican, y multiplicar números menores que uno hunde el resultado muy deprisa.

Un proceso de seis pasos, cada uno bien el 95% de las veces, sale entero bien el 73,5%. Uno de cada cuatro se rompe por alguna parte. Con doce pasos al 99% queda un 88,6%, y el 99% por paso ya es una fiabilidad que cuesta dinero conseguir.

De ahí sale la regla que más ahorra al montar cualquier cosa encadenada: cada paso que añades resta, y para que el conjunto llegue al 95% con seis pasos, cada paso tendría que estar al 99,15%. Es la diferencia entre una demostración que funciona y algo que se puede dejar solo.

Cómo saber dónde estás

Escribe las seis antes de abrir lo de abajo. La 4 y la 5 no se contestan con la cuenta, y ese es el ejercicio.

Ver las seis respuestas

1. 3,50 €, y cuesta 5 Setecientos entre doscientas. Cada papeleta pierde 1,50 € en promedio, y ese hueco entre lo que se recauda y lo que se reparte es exactamente el negocio de cualquier sorteo.
2. El 73,5% 0,95 multiplicado por sí mismo seis veces. Uno de cada cuatro procesos se rompe en algún paso, y ninguno de los seis parece culpable porque cada uno funciona el 95% de las veces.
3. Sí, si puedes repetirla Vale +20 € por jugada. Con mil jugadas te llevas unos 20.000 €; con una sola te llevas 100 o pierdes 100, y nunca 20. El valor esperado describe el largo plazo, no la próxima vez.
4. Cambia todo La cuenta sigue diciendo +20% y ya no manda. Si el 40% te deja sin casa, no hay siguiente jugada, y una apuesta buena que solo puedes jugar una vez deja de ser buena.
5. Pierdes 150 € al año, y está bien gastado El siniestro vale 150 € al año de media y la prima son 300. La aseguradora gana esa diferencia. Se compra igual, porque 30.000 € de golpe no son doscientos años de 150 €.
6. No Nueve de cada diez veces ganas un 10% y a la décima te quedas a cero: 0,9 por 1,1 son 0,99. Pierdes un 1% por jugada mientras ganas casi siempre, que es la forma más cómoda que hay de arruinarse despacio.

Qué significa lo que has contestado

Si has contestado esto	Es que
Que la papeleta vale 5 €, que es lo que cuesta	Has confundido el precio con el valor. Son dos números distintos y la diferencia entre los dos es todo el negocio de quien vende la papeleta.
Un 95% o «casi todos» en la 2	Has sumado o promediado en vez de multiplicar. Es el fallo que hace que los procesos de muchos pasos se diseñen con expectativas imposibles.
Que no juegas la 3	Es prudencia y con esas cifras te está costando dinero. Si la apuesta se puede repetir y perder no te tumba, rechazarla es regalar veinte euros por jugada.
Que la 4 es igual que la 3 porque la cuenta no cambia	Te has quedado con la primera mitad del nivel. La cuenta es la misma y la decisión no, porque perder te saca del juego y no hay promedio que valga sin jugadas siguientes.
Que el seguro de la 5 es un mal negocio	Tienes razón en la cuenta y no en la decisión. Todos los seguros tienen el valor esperado en tu contra, y por eso existen las aseguradoras. Se compran igual y con motivo.
Que entras en la 6 porque se gana el 90% de las veces	Has mirado la probabilidad y no lo que hay en cada rama. Es la estructura de casi todas las inversiones que parecen seguras hasta que dejan de serlo.
Las seis, y las dos últimas sin usar la cuenta	Este nivel lo tienes. El 7 es el que sigue: elegir cuando no llega, y saber cuándo parar.

Qué hacer, en concreto

Delante de cualquier decisión con incertidumbre, tres líneas en un papel:

Escribirlas ya resuelve la mitad, porque obliga a poner un número donde había un «bueno, puede salir mal». Y después, tres comprobaciones:

• ¿Se puede repetir? El valor esperado es el promedio de muchas veces. Si esta decisión se toma una vez en la vida —una casa, un trabajo, una operación—, el promedio no te va a rescatar.
• ¿La peor rama te deja seguir jugando? Si la respuesta es no, la cuenta no manda y no hay número positivo que lo arregle. Esta pregunta va antes que la aritmética, no después.
• ¿Cuántas cosas tienen que salir bien a la vez? Si son varias, multiplica. Un plan con cinco condiciones al 90% sale adelante el 59% de las veces, y en la reunión cada condición sonaba razonable.

Y una costumbre para cuando hay que estimar probabilidades a ojo, que es casi siempre: escribe el número antes de discutir. Cada uno el suyo, y luego se comparan. Si alguien dice «es bastante probable» y otro entiende un 80% mientras el primero pensaba un 55%, la reunión entera va a hablar de dos cosas distintas sin enterarse.

Pruébalo con tus números

Tres cajas. La segunda es la que más decisiones cambia y la tercera es la que explica por qué se compra algo con la cuenta en contra.

En qué te vas a equivocar

Mirar la probabilidad y no lo que hay en cada rama

«Sale bien el 90% de las veces» se queda en la cabeza y el 10% restante no trae número. El motivo es que la probabilidad viene dada y la consecuencia hay que imaginársela, así que una cuesta y la otra no. Casi todas las malas inversiones tienen esta forma: se gana casi siempre y se pierde entero.

Sumar en vez de multiplicar cuando las cosas dependen unas de otras

Cinco condiciones al 90% suenan a 90% y son un 59%. El motivo es que en una reunión las condiciones se enumeran una detrás de otra, y cada una se valora sola y suena razonable. Nadie las multiplica porque nadie las ve juntas.

Aplicar el promedio a una decisión que solo se toma una vez

El valor esperado describe lo que pasa repitiendo, y ahí es donde es útil. En una decisión única te da un número que no vas a cobrar nunca: la apuesta de +20 € por jugada te paga 100 o −100. El motivo del error es que el número es tan limpio que parece una predicción.

Usar la cuenta para justificar lo que ya habías decidido

Como las probabilidades casi siempre se estiman a ojo, cambiar un 60% por un 75% no parece hacer trampa y da la vuelta al resultado. El motivo es que la aritmética da autoridad, y con dos números inventados la conclusión hereda esa autoridad sin merecerla. La defensa es escribirlos antes de saber qué sale.

Por qué esto está en la base de un mapa de negocios

Porque casi ninguna decisión de empresa tiene un resultado, tiene ramas, y quien no las escribe decide con la que más le suena.

• Finanzas. Un cobro futuro vale menos por dos motivos a la vez: llega tarde y puede no llegar. La segunda mitad es esta, y va antes de descontar nada.
• Automatización y agentes, en el máster de IA. Su módulo se titula con esta cuenta: seis pasos al 95% son un 73,5%. Encadenar tareas automáticas es multiplicar fiabilidades, y por eso lo que funciona en una demostración de tres pasos se cae al llegar a ocho.
• Juicio y decisiones, en el de Psicología. La gente se aparta del valor esperado de forma tan constante que se puede prever hacia dónde: duele más perder que lo que gusta ganar, y una probabilidad pequeña se trata como si fuera cero o como si fuera segura, según convenga.

Y en el mapa: el nivel 7, elegir cuando no llega y saber cuándo parar, pide este aprobado. Es el paso siguiente natural, porque una vez sabes lo que vale cada opción todavía falta lo más difícil, que es no poder pagarlas todas.

De dónde sale esto

• Bernoulli, D. (1738). Specimen theoriae novae de mensura sortis. Aquí nace la mitad que no se cuenta. Bernoulli se preguntó por qué nadie paga una fortuna por una apuesta de valor esperado infinito, y respondió que el euro número veinte mil no vale lo mismo que el primero. Tiene casi trescientos años y sigue siendo el mejor argumento para comprar un seguro.
• Kahneman, D. y Tversky, A. (1979). Prospect theory: An analysis of decision under risk, en Econometrica. Cómo se aparta la gente del valor esperado, y en qué dirección. Perder duele más de lo que gusta ganar lo mismo, y eso ordena decisiones que de otro modo parecen caprichosas.
• Samuelson, P. (1963). Risk and uncertainty: A fallacy of large numbers. Nace de un colega que rechazó una apuesta favorable y dijo que aceptaría cien iguales. Samuelson demuestra que eso no es tan incoherente como parece, y de paso deja claro que repetir una apuesta cambia lo que es.
• Kelly, J. L. (1956). A new interpretation of information rate, en Bell System Technical Journal. Cuánto arriesgar en una apuesta favorable para que la ruina no se te lleve por delante. La respuesta corta es: mucho menos de lo que apetece.
• Peters, O. (2019). The ergodicity problem in economics, en Nature Physics. Lo que le pasa a mucha gente una vez y lo que te pasa a ti muchas veces no son lo mismo, y el promedio de siempre describe lo primero. Es la versión formal de por qué una apuesta buena puede arruinarte.

Comprueba que lo has entendido

Doce preguntas de un banco de setenta y siete, distintas cada vez, así que volver no es memorizar. No te dice si aciertas hasta el final: si te lo dijera, las doce se contestan por descarte. Con un 70% el nivel cuenta en tu mapa.

No te preguntan la definición de valor esperado. Te ponen una apuesta delante y tienes que decir si la juegas.

Un tercio son de otro tipo: te enseñan una cuenta ya hecha por otro y tienes que decir en qué paso se rompe. Aquí casi nunca hay un número mal —la multiplicación está bien y el valor esperado también—, y lo que falla es la línea donde se decide qué hacer con ese número. Una de cada cuatro no se rompe en ninguno.