Contar y calcular · Nivel 5

La mitad, el cuarto,
el tanto por ciento

«Te hago un 15% y cerramos.» Son 340 €, y tienes dos segundos para saber si eso es 51 € o 34 €. Quien no lo hace de cabeza dice «vale» y lo comprueba después, cuando ya ha dicho que sí. No es una cuenta difícil: es una cuenta que hay que tener hecha antes de contestar.

El mismo número con cuatro trajes

La mitad de algo se escribe de cuatro maneras, y cada sitio usa la suya. La receta dice «la mitad», la calculadora dice 0,5, la oferta dice 50% y el contrato dice «una parte de dos».

Son el mismo número. La habilidad de este nivel no es saberlo —eso se dice en una frase— sino pasar de un traje a otro sin pararte, porque en la vida los cuatro aparecen mezclados en la misma conversación.

Con el cuarto pasa igual: un cuarto, 1/4, 0,25 y 25%. Y con tres cuartos: 3/4, 0,75 y 75%.

Hay uno que no tiene traje decimal exacto y conviene saberlo desde el principio: un tercio. 1/3 es 0,333… y no se acaba nunca. Un tercio de 90 € son 30 € clavados; un tercio de 100 € son 33,33 € y sobra un céntimo que hay que decidir dónde va. La fracción es exacta y el decimal no, y por eso los repartos se hacen en fracción y se redondean al final.

La mitad de un cuarto no es un medio

Componer trozos es lo segundo, y es donde se cae más gente de la que parece. La mitad de un cuarto es un octavo: 12,5%. No un medio, y tampoco un 12%.

La regla es corta: componer trozos se hace multiplicando, no sumando.

La mitad de un cuarto = 1/2 × 1/4 = 1/8 = 0,125 = 12,5%

Y al revés: dos cuartos son una mitad, cuatro octavos también. Cuando dos fracciones distintas dan el mismo número, es que arriba y abajo se han multiplicado por lo mismo.

Encadenar descuentos —un 30% y luego otro 10%— es esta misma multiplicación aplicada a precios, y tiene su propia trampa. Está en el nivel 6, con los números.

Los tres trozos con los que sale cualquier porcentaje

No hace falta memorizar nada. Con tres piezas y sumas se construye casi todo lo que aparece en una conversación:

La pieza	Cómo se hace
10%	Mover la coma un sitio a la izquierda. El 10% de 340 son 34.
5%	La mitad del 10%. De 340, la mitad de 34: 17.
25%	Un cuarto, o sea la mitad de la mitad. De 340: 170 y luego 85.
1%	Mover la coma dos sitios. El 1% de 340 son 3,40.

Y ahora se suma. El 15% es el 10% más el 5%:

15% de 340 € = 34 + 17 = 51 €

Con las mismas cuatro piezas: el 20% es el 10% doblado, el 30% es el 10% tres veces, el 35% es el 25% más el 10%, y el 45% es la mitad menos el 5%. Restar también vale, y muchas veces sale más corto.

Un caso de verdad, con las cifras de Tostado. Diego vende la bolsa a 12,90 € y le cuesta 4,50 €, así que gana 8,40 €. ¿Qué porcentaje del precio es eso? Por trozos, tanteando el 65%:

50% = 6,45 · 10% = 1,29 · 5% = 0,645 → 65% = 8,385 €

El margen de verdad son 8,40 €, así que la estimación se queda a céntimo y medio. El porcentaje exacto es 65,12%. Para decidir en una conversación, sobra. Para poner el número en una factura, no: ahí se hace la división.

Y la cuenta al revés, que es la que más se usa

Casi nunca te preguntan cuánto es el 15%. Te dan los dos números y el que falta es el porcentaje: «me han quitado 51 € de 340, ¿cuánto es eso?».

Se hace con la misma pieza. El 10% de 340 son 34. Y 51 son 34 más su mitad, o sea una pieza y media:

51 ÷ 34 = 1,5 piezas de 10% → 15%

Con las visitas de Tostado sale igual de rápido. De 20.000 visitas al mes compran 400. El 1% son 200, así que 400 son dos veces esa pieza: el 2%. Esa es la conversión de la que vive toda la tienda, y se calcula moviendo una coma.

Cómo saber dónde estás

Las respuestas: 51 €, un tercio, 12,5%, 400 visitas, alrededor del 65% y 15%. Lo que importa no es cuántas has acertado: es qué contestaste en las que no, porque cada error tiene un nombre y una salida.

Qué significa lo que has contestado

Si has puesto	Es que
34 € en la primera	Has hecho el 10% y te has parado ahí. Falta el 5%, que es la mitad de lo que ya tienes.
Un cuarto en la segunda	El sesgo del número entero: 4 es más que 3, pero abajo significa repartir entre más. Tiene nombre y está medido; sale al final.
25% en la tercera	Has sumado donde había que multiplicar. La mitad de un cuarto es un octavo, no otro cuarto.
40 o 40.000 en la cuarta	La coma. El 1% mueve dos sitios y el 10% mueve uno, y confundirlos cambia el resultado por diez.
8,40 € en la quinta	Es correcto y no era la pregunta. Ese es el margen en euros; el porcentaje pide dividirlo entre el precio.
«No sé hacerlo sin calculadora» en la sexta	Es la más útil de las seis y sale sola: 34 es el 10%, y 51 es una pieza y media.
Todas bien pero tardando	El nivel está y le falta rodaje. Es exactamente lo que se arregla haciéndolo diez veces al día en cosas de nada.

Pruébalo con tus números

Tres cajas. La primera pasa un número por los cuatro trajes; la segunda descompone un porcentaje en piezas; la tercera hace la cuenta al revés.

Las tres cajas son aritmética exacta y no hay ningún modelo dentro, así que no llevan aviso de modelo juguete. Sí llevan otro aviso, que es de método: lo que sale por piezas es una estimación buena, no el número de la factura. La caja 2 enseña siempre a cuánto se queda de la cuenta exacta, y ese hueco es el que decide si te vale para contestar en el momento o hay que hacer la división.

En qué te vas a equivocar

Confundir «la mitad más» con «el doble»

Subir algo la mitad es multiplicarlo por 1,5. Doblarlo es multiplicarlo por 2. Suenan parecido en una frase hablada y se llevan un 50% de diferencia, que en un presupuesto es toda la discusión.

Poner mal la coma del 1%

Es el error más caro y el más silencioso, porque el resultado sale con la pinta correcta. El 1% mueve dos sitios y el 10% mueve uno. Si dudas, haz el 10% primero, que es más fácil de ver, y luego divide entre diez.

Leer el 0,5 de la calculadora como un 0,5%

La calculadora escribe la mitad como 0,5 y el medio por ciento también empieza por 0,5. Uno es cien veces el otro. Es el mismo desliz de la coma con otra ropa.

Dar por buena la cuenta sin mirar sobre qué va

Este es el error que no se arregla aquí. Puedes calcular el 15% perfectamente y aplicarlo a la cantidad equivocada, y entonces la cuenta está bien y el resultado está mal. Eso es el nivel 6, y por eso va justo encima de este.

Por qué esto está en la base de un mapa de negocios

Porque casi todo lo que se decide con números en un negocio es un porcentaje de algo: el margen, la conversión, el descuento, la comisión, el IVA, la subida del alquiler. Ninguno de esos es una cuenta difícil. Lo difícil es tenerla hecha mientras hablas, y no media hora después.

• El nivel 6 pide este aprobado y lo dice en su primera línea. Sobre qué base va un porcentaje solo se puede discutir si el porcentaje ya te sale.
• Analítica, en Marketing, es esto repetido: conversión, tasa de rebote, retención. Todas son una división y una coma movida.
• Fiscalidad y Finanzas viven de tipos, y un tipo es un porcentaje con nombre propio.

En el mapa, con este quedan seguidos los cuatro peldaños adultos de Contar y calcular: el 5, el 6, el 7 y el 8. Lo que queda por debajo es la etapa acompañada.

De dónde sale esto

• Siegler, R., Duncan, G., Davis-Kean, P. y otros (2012). Early predictors of high school mathematics achievement, en Psychological Science. Es el motivo de que este nivel esté donde está. Con datos de seguimiento de Estados Unidos y del Reino Unido, lo que un crío sabe de fracciones y división a los diez o doce años predice cómo le irá en matemáticas cinco años después, y sigue prediciendo después de descontar la renta familiar, el nivel de estudios de los padres y el resto de las matemáticas que sabía entonces.
• Ni, Y. y Zhou, Y. (2005). Teaching and learning fraction and rational numbers: the origins and implications of whole number bias, en Educational Psychologist. De aquí sale el nombre de la segunda fila de la tabla: el sesgo del número entero, que es tratar el de abajo como si contara igual que el de arriba. Por eso un cuarto parece más que un tercio.
• Siegler, R., Thompson, C. y Schneider, M. (2011). An integrated theory of whole number and fractions development, en Cognitive Psychology. Defiende que enteros y fracciones no son dos sistemas: son puntos de la misma recta, y aprender fracciones es aprender a colocarlos en ella. Es la razón de que este nivel enseñe los cuatro trajes juntos y no por separado.
• Lortie-Forgues, H., Tian, J. y Siegler, R. (2015). Why is learning fraction and decimal arithmetic so difficult?, en Developmental Review. Reúne lo que se sabe de por qué esto cuesta tanto, y una de las razones no es del alumno: las cuatro operaciones se comportan de manera distinta con fracciones que con enteros, y multiplicar puede empequeñecer.

Comprueba que lo has entendido

Doce preguntas de un banco de cincuenta y una, distintas cada vez, así que volver no es memorizar. No te dice si aciertas hasta el final: si te lo dijera, las doce se contestan por descarte. Con un 70% el nivel cuenta en tu mapa.

No te preguntan qué es una fracción. Te ponen un número delante y tienes que decir cuánto es sin escribir nada.

Un tercio son de otro tipo: te enseñan una cuenta de cabeza ya hecha por otro y tienes que decir en qué paso se rompe. Casi nunca falla la suma. Falla la pieza que se eligió, o la coma. Una de cada cuatro no se rompe en ninguno.