Contar y calcular · Nivel 7

Tramos
y marginales

La tarifa del proveedor de Diego dice lo mismo de dos maneras posibles, y él nunca se fijó en cuál. Con una, todo va bien. Con la otra hay diecisiete kilos en los que comprar menos café le cuesta más dinero, y uno de esos meses le costó 66 € sin que apareciera ningún error en ninguna factura. La diferencia entre las dos tarifas es una preposición.

La misma tabla, dos maneras de cobrar

Diego tuesta café. Vende 870 bolsas de 250 g al mes, que son 217,5 kg tostados, y como tostar se lleva alrededor del 17% del peso, compra unos 262 kg de café verde cada mes. Su proveedor le manda esta tarifa:

Café verde al mes	Precio
Los primeros 100 kg	9,00 €/kg
Los 150 siguientes, hasta 250 kg	8,40 €/kg
A partir de 250 kg	7,80 €/kg

Esa tabla no dice cómo se cobra. Hay dos maneras y ninguna es rara:

• Escalonada. Cada kilo paga el precio de su tramo. Los primeros cien a 9,00 €, los siguientes ciento cincuenta a 8,40 €, y de ahí para arriba a 7,80 €. Es como funciona el IRPF.
• Retroactiva. El precio del tramo al que llegas se aplica a todo el pedido. En cuanto el pedido toca los 250 kg, los 250 van a 7,80 €. Es como funcionan casi todos los descuentos por volumen.

Con los 262 kg de Diego las dos cuentas dan esto:

Doscientos diez euros de diferencia con la misma tabla y el mismo pedido. Y no hay manera de saber cuál es leyendo los números: hay que leer la frase que los acompaña.

La preposición lo decide todo

Es lo único que separa las dos formas, y cabe en tres palabras:

Si el papel dice	Es que
«8,40 € para lo que exceda de 100 kg»	Escalonada. El precio nuevo solo toca la porción de arriba.
«8,40 € a partir del kilo 100»	Escalonada. «A partir de» señala dónde empieza a aplicarse, no a qué.
«8,40 € si superas los 100 kg»	Retroactiva. La condición mira el total y el precio se aplica al total.
«8,40 € para pedidos de más de 100 kg»	Retroactiva. El sujeto es el pedido entero, no una parte.
No lo dice	Se pregunta antes de firmar. Aquí ya no hay lectura que valga: hay que pedir una factura de ejemplo.

Suena a detalle de abogado y son doscientos diez euros al mes.

Tres números, y solo uno decide

De cualquier tabla con una raya dentro salen tres cifras distintas, y se confunden con una facilidad que sorprende:

1. El total. Lo que pagas. Es el que viene en la factura y el único que nadie discute.
2. El medio. El total dividido entre los kilos. Con la escalonada, 2.253,60 ÷ 262 = 8,60 €/kg. Es un informe de lo que ya pasó.
3. El marginal. Lo que cuesta el kilo siguiente. Aquí, 7,80 €. Es el único que sirve para decidir si compras uno más.

Diego lleva años diciendo que el café le sale a 8,60 €. No es mentira, pero es la respuesta a una pregunta que no se hizo. Cuando una cafetería le pide veinte kilos más, lo que importa es que esos veinte le cuestan 7,80 € cada uno.

Y el medio nunca es igual al marginal salvo que no haya ninguna raya. En cuanto hay tramos, el medio va por detrás arrastrando lo que pagaste al principio.

La zona muerta, que solo existe en una de las dos

Con la forma escalonada, comprar más nunca sale más barato en total. Nunca. Es la misma razón por la que subir de tramo en el IRPF no te deja con menos dinero: lo de abajo se queda como estaba.

Con la retroactiva sí pasa, y esta es la cuenta. Con 249 kg se paga 8,40 € el kilo. Con 250, 7,80 € a todo. Así que el pedido de 250 kg cuesta:

250 × 7,80 = 1.950 €

¿A partir de cuántos kilos, pagando 8,40 €, se llega ya a esos 1.950 €? Es una división:

1.950 ÷ 8,40 = 232,1 kg

Desde el kilo 233 hasta el 249, Diego paga más que si pidiera 250. Diecisiete kilos en los que comprar menos cuesta más. En el peor punto, 249 kg, paga 2.091,60 € cuando 250 kg le costarían 1.950: 141,60 € de más por llevarse un kilo menos.

Y le pasó de verdad. Un febrero flojo se quedó en 240 kg, pagó 2.016 € y no le extrañó nada, porque la factura estaba impecable. Diez kilos más le habrían costado 66 € menos, y encima se llevaba el café.

La regla general, para cualquier tabla retroactiva:

Zona muerta = desde umbral × precio de arriba ÷ precio de abajo hasta el umbral

Cuanto mayor es el salto de precio, más ancha es la zona. Con un descuento pequeño casi no existe; con uno grande se traga un tramo entero de pedidos razonables.

Y desde el otro lado de la mesa

Diego también escribió una tabla con una raya dentro, para Nuria, que le abre cafeterías:

Venta al mes	Comisión
Hasta 8.000 €	3%
Más de 8.000 €	6%

Nuria cierra el mes con 7.900 € y tiene una venta de 100 € a punto de caer. Lo que le pagan esos cien euros depende de la misma preposición de antes:

Doscientos cuarenta y tres euros por vender cien. Es un tipo marginal del 243%, y explica sin ninguna psicología por qué los últimos días del mes se cierran ventas raras: Nuria pondría 200 € de su bolsillo con tal de cruzar la raya y le seguiría saliendo a cuenta.

A Diego no. Cien euros de café le dejan unos 65 € de margen —son 7,75 bolsas a 8,40 € cada una— y le cuestan 243 € de comisión. Esa venta le quita 178 €. La tabla la escribió él y nunca hizo esta división.

Pruébalo con tus números

Tres cajas. La primera cobra el mismo pedido de las dos maneras; la segunda busca la zona muerta; la tercera dice lo que paga de verdad la unidad siguiente.

Aviso de modelo juguete. Aquí una tarifa tiene una forma o la otra, y en la calle se mezclan: hay contratos escalonados con un mínimo de facturación, retroactivos con tope, tablas que se aplican sobre la media del trimestre y rappels que se liquidan a fin de año sobre lo acumulado. Lo que se lleva de aquí no es una fórmula que valga para todos: es la pregunta que hay que hacerle a cualquier tabla —¿el precio nuevo toca solo la porción de arriba, o toca el total?— y saber que la respuesta cambia la factura, no el matiz.

En qué te vas a equivocar

Decidir con el medio

Es el error caro y el más difícil de ver, porque el medio es el número que tienes a mano: sale de dividir la factura entre los kilos. Pero la factura ya está pagada. La pregunta siempre es sobre lo siguiente, y lo siguiente tiene su propio precio.

Suponer que todas las tablas son escalonadas

El IRPF lo es, y como es la tabla que todo el mundo conoce, se extiende la idea a las demás. Casi ningún descuento comercial funciona así. La forma habitual en la compraventa es justo la otra.

Redondear el pedido hacia abajo «por prudencia»

Es lo que hizo Diego en febrero. Cuando el mes va flojo, la reacción sensata es pedir menos, y con una tarifa retroactiva esa reacción sensata cuesta dinero. La prudencia se mira en la cuenta, no en la intuición.

Escribir una tabla sin calcular el salto

Si eres tú quien pone la raya —una comisión, un objetivo, un rappel—, la forma retroactiva le pone a alguien un premio enorme en un punto concreto. Va a ir a por él, y hará lo que haga falta. Eso no es un problema de la persona: es lo que dice tu tabla.

Por qué esto está en la base de un mapa de negocios

Porque casi ningún precio de la vida adulta es un número: es una tabla con rayas dentro. La luz, el móvil, el envío gratis a partir de cincuenta euros, el seguro con franquicia, la comisión del banco, la nómina, el proveedor.

• Microeconomía. Su primer nivel construye el coste medio y el marginal desde una tabla de producción y saca la regla de cuánto conviene producir. Lo de aquí es el peldaño de antes: saber leer los dos números en cualquier tabla, no solo en la de costes.
• Fiscalidad. La escala del IRPF es la tabla escalonada de manual, y los impuestos progresivos, proporcionales y regresivos son tres formas distintas de dibujar la misma raya.
• Pricing. Poner un descuento por volumen es escribir una de estas tablas. Elegir la forma es la decisión, y casi siempre se toma sin mirarla.

En el mapa, este es el peldaño que faltaba entre el 6, que va de sobre qué base se calcula un porcentaje, y el 8, que va de cuánto se mueve una cantidad cuando mueves otra.

De dónde sale esto

• Musgrave, R. y Musgrave, P. (1973). Public Finance in Theory and Practice. De aquí vienen los nombres que se usan en todas partes: tipo marginal, tipo medio, progresividad. Y la observación de que un impuesto por tramos nunca puede hacer que ganar más deje menos, que es lo que separa un escalón de un acantilado.
• Dorfman, R. (1981). The meaning of marginal analysis, en Journal of Economic Literature. La defensa más clara de por qué la decisión es siempre marginal y el promedio es contabilidad. Está escrito para economistas y se entiende sin serlo.
• Munson, C. y Rosenblatt, M. (1998). Theories and realities of quantity discounts, en Production and Operations Management. Aquí están las dos formas con sus nombres del oficio —incremental y all-units— y la constatación de que la segunda es la que se usa de verdad, y de que produce cantidades de pedido en las que comprar menos cuesta más.
• Oyer, P. (1998). Fiscal year ends and nonlinear incentive contracts, en Quarterly Journal of Economics. Mide qué le pasa a una empresa cuando paga por objetivos con un salto: las ventas se amontonan al final del periodo y los descuentos crecen. Es el caso de Nuria, con datos de miles de empresas.
• Larkin, I. (2014). The cost of high-powered incentives, en Journal of Labor Economics. Un comercial de software adelanta y retrasa ventas para colocarlas del lado bueno de la raya, y a la empresa le cuesta el 6-8% de los ingresos. La tabla la escribió ella.

Comprueba que lo has entendido

Doce preguntas de un banco de cincuenta y cinco, distintas cada vez, así que volver no es memorizar. No te dice si aciertas hasta el final: si te lo dijera, las doce se contestan por descarte. Con un 70% el nivel cuenta en tu mapa.

No te preguntan qué es un tipo marginal. Te ponen una tarifa delante y tienes que decir qué cuesta lo siguiente.

Un tercio son de otro tipo: te enseñan una cuenta ya hecha por otro y tienes que decir en qué paso se rompe. Casi nunca falla la aritmética. Falla el primer paso, donde se eligió la forma de la tabla o el número con el que decidir. Una de cada cuatro no se rompe en ninguno.