Contar y calcular · Nivel 6

Sobre qué base
va ese porcentaje

Subes los precios un 10% en enero. En julio los bajas un 10% y das por hecho que vuelven a estar donde estaban. No vuelven. Se quedan un 1% por debajo, porque el segundo 10% no se calculó sobre lo mismo que el primero. Un porcentaje sin su base no es un número: es media frase.

Un porcentaje es media frase

Un 20% no es una cantidad. Es una instrucción: coge veinte de cada cien de algo. Ese algo es la base, y sin ella no hay número.

La parte fácil de entender es que el 20% de 800 € son 160 € y el 20% de 1.200 € son 240 €. Nadie discute eso. La parte que cuesta es que en una secuencia la base se mueve sola, y casi nunca se avisa.

Con esos mismos 10 € de siempre:

• 100 € − 10% = 90 €. Ahí se quitaron 10 €, porque la base era 100.
• 90 € + 10% = 99 €. Aquí se pusieron 9 €, porque la base ya era 90.

Falta un euro. Con un 20% en vez de un 10% faltan cuatro. Con un 50%, veinticinco. La regla que hay debajo es corta: bajar y subir el mismo tanto por ciento te deja siempre por debajo, y lo que pierdes es ese porcentaje al cuadrado.

De ahí salen las tres formas de perder la base, y son las tres que cuestan dinero:

1. La ida y vuelta. Lo de arriba. Deshacer una bajada del 20% pide una subida del 25%, no del 20%.
2. El punto y el por ciento. Una comisión que pasa del 2% al 3% ha subido un punto porcentual. Y un 50%.
3. Los descuentos encadenados. Un 30% y un 10% adicional en caja no son un 40%. Son un 37%.

Las tres son el mismo fallo con tres disfraces. En las tres hay dos bases distintas y se trata a las dos como si fueran una.

Cómo saber dónde estás

Escribe las seis respuestas antes de seguir. Leer la solución con la pregunta delante no mide nada.

Ver las seis respuestas

1. 37,80 € El 30% va sobre 60 y deja 42 €. El 10% va sobre 42, no sobre 60. Sumar los dos descuentos da 36 €, y son 1,80 € de diferencia.
2. 100 € Se divide entre 1,21. Restar el 21% de 121 da 95,59 €, que no es la base de nada: el 21% de 95,59 son 20,07, y eso no suma 121.
3. Un 100% De 100 € te quedan 50. Para volver a 100 tienes que doblar lo que queda. La bajada iba sobre 100 y la subida va sobre 50.
4. Un punto, y un 50% Las dos cosas a la vez, y no significan lo mismo. Sobre 200.000 € de hipoteca son 2.000 € más al año.
5. Un 65% o un 187% Ganas 8,40 € en los dos casos. Sobre el precio es el 65%, y así se dice el margen. Sobre el coste es el 187%, y así se dice el marcaje.
6. No Son los mismos 100 €. Sube un 12,5% y baja un 11,1%, porque en la subida la base es 800 y en la bajada es 900.

Qué significa lo que has contestado

Si has contestado esto	Es que
36 € en la del jersey	Has sumado los dos descuentos. Es el fallo más caro de la lista porque no lo notas nunca: la caja te cobra 37,80 y te parece bien.
95,59 € al quitar el IVA	Has aplicado el porcentaje sobre el resultado y no sobre la base. Los 121 € ya llevan el impuesto dentro, así que el 21% que buscas no está calculado sobre ellos.
Un 50% para recuperar el fondo	Sigues usando como base el dinero de antes de la caída. Ese dinero ya no existe. La base ahora es lo que queda.
Un 1% más de comisión	Estás dando puntos porcentuales y llamándolos por ciento. Es la confusión que más titulares aguanta sin que nadie la corrija.
Un solo número en la del margen	Falta decir sobre qué. El 65% y el 187% son el mismo beneficio mirado desde dos sitios, y quien elige el sitio elige la impresión.
Que el alquiler sube y baja igual	Estás pensando en los euros, que sí son los mismos. El porcentaje cambia de dirección porque la base cambia con él.
Las seis, y sin calculadora	Este nivel lo tienes. Lo siguiente es el 7, donde la base cambia por dentro de una misma cuenta: tramos y marginales.

Fallar cuatro o cinco es lo normal, y es lo que hace que este nivel exista. Lo raro sería lo otro.

Qué hacer, en concreto

No hace falta aprenderse nada. Hace falta meter una pregunta de tres palabras antes de operar:

Si la respuesta no sale en dos segundos, la cuenta todavía no se puede hacer. Y cuatro reglas mecánicas que resuelven casi todo lo que te vas a encontrar:

• Encadenar, no sumar. Cada porcentaje es un factor y los factores se multiplican. Un 30% y un 10% son 0,70 × 0,90 = 0,63. Te queda el 63%, así que el descuento real es del 37%.
• Para deshacer, divide. Quitar el IVA es dividir entre 1,21. Deshacer una bajada del 20% es dividir entre 0,80, que sale un 25% de subida. Restar lo mismo que sumaste nunca vuelve al punto de partida.
• Di siempre desde dónde. «Sube un 12,5% respecto a 800 €», no «sube un 12,5%». Cuesta cuatro palabras y te ahorra la mitad de los líos.
• Si el dato ya es un porcentaje, la variación va en puntos. Del 2% al 3% hay un punto. Y si quieres decir lo que sube de verdad, di las dos: un punto, un 50% más.

Hay una comprobación de bolsillo que funciona casi siempre: haz la cuenta sobre 100 y escala después. Sobre 100 el porcentaje y el euro son el mismo número, y el error se ve a simple vista.

Y una tabla que conviene tener en la cabeza, porque es la que más dinero mueve. Lo que hace falta subir para deshacer una bajada:

Si baja un	Para volver hay que subir un
10%	11,1%
20%	25%
33%	50%
50%	100%
80%	400%

Fíjate en la última fila. Perder el 80% no es «cuatro veces peor» que perder el 20%: es otra cosa. Por eso las caídas grandes no se recuperan casi nunca.

Pruébalo con tus números

Tres cajas. Cambia lo que quieras y mira dónde se apoya cada porcentaje, que es lo único que hay que ver aquí.

En qué te vas a equivocar

Sumar porcentajes que van sobre bases distintas

Es el error de la caja del súper y el de la hoja de cálculo. El motivo es que los porcentajes se escriben como los euros, y los euros sí se suman. Sumar es la operación que el cerebro tiene más a mano, y la coge sin preguntar.

Restar para deshacer

Quitar el IVA restando el 21%. Bajar un 20% lo que subiste un 20%. El motivo aquí es del idioma más que de las matemáticas: en la vida deshacer es hacer lo contrario, y con porcentajes lo contrario de multiplicar por 1,21 es dividir, no restar.

Dar el porcentaje callando la base

Este muchas veces no es un error de quien lo escribe. Es una decisión. Un 187% de marcaje y un 65% de margen son el mismo euro y no cuentan la misma historia, así que cada uno usa el que le conviene. Cuando un porcentaje viene sin base, la pregunta útil no es cuál es: es a quién le viene bien que no esté.

Fiarte del porcentaje cuando la base es diminuta

«Hemos crecido un 300%» puede ser pasar de dos clientes a ocho. El motivo es que el porcentaje esconde el tamaño por diseño, y esa es exactamente la razón por la que se elige para el titular. Con bases pequeñas, pide el número absoluto antes de opinar.

Por qué esto está en la base de un mapa de negocios

Porque casi todo lo que se decide con dinero es un porcentaje sobre algo, y el «algo» es lo primero que desaparece.

Con los números de Tostado, la marca de café del máster de Marketing: la bolsa de 250 g se vende a 12,90 € y cuesta 4,50 €. El beneficio es de 8,40 €. Haz ahora un 20% de descuento para una promoción.

• El precio baja a 10,32 €.
• El coste no se mueve: sigue en 4,50 €.
• El beneficio pasa de 8,40 € a 5,82 €.

Un 20% de descuento sobre el precio se ha llevado el 31% del beneficio. No es lo mismo un 20% del precio que un 20% de lo que ganas, y en una promoción decidida en diez minutos esos dos números se confunden siempre. Vender un 20% más barato obliga a vender bastante más de un 20% de unidades solo para quedarte igual.

De ahí cuelga medio mapa:

• Fiscalidad. Se llama base imponible por algo. Retenciones, tipos e IVA son todos porcentajes sobre bases distintas de la misma factura.
• Pricing. Margen y marcaje, descuentos por volumen, comisiones de plataforma. Todo el módulo es esta cuenta repetida.
• Microeconomía. La elasticidad es un porcentaje dividido entre otro porcentaje, cada uno con su base. Sin este nivel no se puede ni leer.

Y en el mapa: el nivel 7, tramos y marginales, pide este aprobado. Es la misma idea llevada dentro de una sola cuenta, donde cada tramo tiene su propia base y por eso una subida de sueldo no se pierde entera en Hacienda.

De dónde sale esto

• Parker, M. y Leinhardt, G. (1995). Percent: A privileged proportion, en Review of Educational Research. La revisión que explica por qué el porcentaje se atraviesa: es una proporción que se escribe como si fuera un número suelto, y esa notación es la que se come la base.
• Chen, H. y Rao, A. (2007). When two plus two is not equal to four: Errors in processing multiple percentage changes, en Journal of Consumer Research. Mide directamente lo de los descuentos encadenados. La gente suma, y suma también cuando le va en contra.
• Gigerenzer, G. y Hoffrage, U. (1995). How to improve Bayesian reasoning without instruction: Frequency formats, en Psychological Review. Los mismos datos en porcentajes o en «ocho de cada mil» dan aciertos muy distintos. Decir la base en voz alta no es un adorno.
• Gal, I. (2002). Adults' statistical literacy: Meanings, components, responsibilities, en International Statistical Review. Qué necesita de verdad un adulto para leer una cifra que le afecta. La pregunta por la base sale la primera.
• Huff, D. (1954). How to Lie with Statistics. Viejo y todavía sin sustituto. El capítulo del porcentaje cambiado de base tiene setenta años y describe el titular de esta semana.

Comprueba que lo has entendido

Doce preguntas de un banco de setenta y nueve, distintas cada vez, así que volver no es memorizar. No te dice si aciertas hasta el final: si te lo dijera, las doce se contestan por descarte. Con un 70% el nivel cuenta en tu mapa.

Y no te preguntan la definición de nada. Te ponen una cuenta delante y una decisión detrás.

Un tercio son cuentas que ya ha hecho otro, con el fallo dentro, y tienes que decir dónde se rompe. Una de cada cuatro no se rompe en ningún sitio. Así que no vale buscar el paso raro: hay que rehacer la cuenta.