Capacidad, colas y cuellos de botella

El cuello de botella no es el que más trabaja: es el que manda

En la ventana de salida hay tres cosas que pueden faltar. Puertas, furgonetas y chóferes. Solo una decide a qué hora sale la última.

Recurso	Cuántos	Minutos disponibles	Ocupación	¿Manda?
Puerta de carga	2	180	86,7 %	Sí
Furgoneta	6	540	28,9 %	No
Chófer	7	630	24,8 %	No

El caudal de la nave es el caudal de la puerta. Ni una caja sale por otro sitio. Las furgonetas y los chóferes están esperando el 70 % de la ventana, y eso no es un derroche: es la consecuencia de que el cuello esté en otro lado.

Aquí está el error que cuesta dinero de verdad. El reparto de Pallarés cuesta 238.400 € al año entre seis furgonetas, o sea 39.733 € por furgoneta con su chófer dentro. La séptima furgoneta es lo primero que se compra cuando la salida va tarde. Y no adelanta la salida ni un minuto, porque sigue habiendo dos puertas.

Dicho al revés, que es como se usa. Una mejora fuera del cuello de botella no es una mejora. Es un gasto con memoria de mejora.

Antes de comprar nada, mide la ocupación de cada recurso en la franja donde duele. El que esté más alto manda. Los demás pueden ir sobrados y no cambian nada, ni para bien ni para mal.

La media del día miente, y la franja no

La puerta trabaja 312 minutos de los 1.440 que hay disponibles. Un 21,7 %. Con ese dato encima de la mesa, nadie aprueba una obra.

El dato es correcto y la conclusión es falsa. La carga no se reparte por el día: se amontona en hora y media, porque los bares abren y la mercancía tiene que estar antes. Esa hora y media va al 86,7 %.

Es la trampa de la media entera, la misma del nivel 6 del tronco Medir. Una media con un pico dentro no describe ni el pico ni el resto.

Y Pallarés ya lo sabe a medias. Las recepciones de proveedor están concertadas de 9:00 a 13:00 justo para que no pisen la salida. Escalonar lo que se puede escalonar es lo que mantiene la nave en pie. La ventana de la mañana es lo que queda sin escalonar, y es lo único que falla.

Una ocupación sin franja no significa nada. Pregunta siempre dos cosas: entre qué hora y qué hora, y con qué recurso.

La variabilidad hace la cola aunque la capacidad sobre

Aquí van dos mañanas con la misma plantilla, las mismas puertas y el mismo trabajo. Las dos al 86,7 % de ocupación. Cambia una sola cosa: en la primera todas las cargas duran 26 minutos y en la segunda duran lo que duran.

	Cargas clavadas en 26 min	Cargas reales, media 26 y desviación 9,1
Ocupación de la puerta	86,7 %	86,7 %
Trabajo en la ventana	156 min	156 min
Sale la última, de media	7:18	7:25
Mañanas fuera de ventana	0 de cada 100	33 de cada 100
Una mañana mala de cada diez	7:18	7:42

Nadie ha trabajado más ni menos. La capacidad es la misma, la holgura del 13,3 % sigue ahí y un tercio de las mañanas se pasa de hora.

Conviene saber de dónde sale esa desviación de 9,1 minutos, porque no es un accidente. Falta una referencia y hay que subir a buscarla. Un palet viene mal montado. El chófer llega tarde. Aparece una devolución a media carga. La impresora no saca el albarán.

Ninguna de esas cosas dura más de cinco minutos. Todas caen dentro de la misma hora y media.

Y hay una asimetría que se olvida siempre. La carga que sale bien no adelanta la salida: la furgoneta espera igual a que le toque puerta. La que sale mal retrasa a todas las de detrás. Lo bueno no se guarda y lo malo se hereda.

La capacidad media no dice si la ventana se cumple. Dos naves con la misma ocupación y la misma gente fallan una el 0 % de los días y otra el 33 %. Toda la diferencia es cuánto se parecen entre sí las cargas.

El modelo formal: ocupación, Little y Kingman

Hacen falta tres piezas y una advertencia. Las dos primeras son exactas. La tercera es una aproximación, y eso cambia cómo se usa.

1 · La ocupación

ρ = trabajo que llega ÷ capacidad de la franja

trabajo   = 6 furgonetas × 26 min      = 156 min
capacidad = 2 puertas × 90 min          = 180 min de puerta
ρ         = 156 / 180                   = 0,8667  →  86,7 %

Por encima de 1 el sistema no tiene arreglo: entra más de lo que sale y la cola crece sin parar. Por debajo de 1 el sistema aguanta, y lo que se discute es cuánto se espera dentro.

2 · La ley de Little

L = λ × W

Las unidades que hay dentro de un sistema son las que entran por minuto multiplicadas por lo que se queda cada una. Es una igualdad, no una estimación. No supone nada sobre cómo llegan ni sobre cuánto tarda cada una.

λ  = 6 furgonetas / 90 min             = 0,0667 furgonetas por minuto
Wq = espera media por furgoneta        = 44,6 min
Lq = 0,0667 × 44,6                      = 3,0 furgonetas esperando puerta

Tres furgonetas paradas de media en un patio donde solo hay seis. Se ve desde la oficina y no se apunta en ningún sitio.

3 · La aproximación de Kingman

Esta es la que contesta la pregunta del módulo, y es la que hay que mirar con recelo.

Wq ≈ V × U × T

V = (ca² + cs²) / 2                                variabilidad
U = ρ^(√(2(c+1)) − 1) / (c × (1 − ρ))              utilización
T = te                                             tiempo de una carga

V = (1 + 0,1225) / 2                    = 0,5613
U = 0,867^1,4495 / (2 × 0,1333)         = 0,8131 / 0,2667  = 3,0569
T = 26 min
Wq = 0,5613 × 3,0569 × 26               = 44,6 min

Los tres factores se multiplican, así que cada uno puede estropear el resultado solo. Y el del medio lleva (1 − ρ) dividiendo. Ahí está la pared entera del módulo: cuando la ocupación se acerca a uno, se divide por casi nada.

Y por eso la cola no crece en línea recta

La tabla siguiente mueve la ocupación de la puerta subiendo lo que tarda cada carga, que es como sube de verdad en Pallarés. Las dos puertas y las seis furgonetas no se tocan.

Ocupación	Dura una carga	Espera media	Espera ÷ carga
45 %	13,5 min	2,2 min	0,16
60 %	18,0 min	6,0 min	0,33
70 %	21,0 min	11,7 min	0,56
80 %	24,0 min	24,4 min	1,02
86,7 %	26,0 min	44,6 min	1,72
90 %	27,0 min	65,0 min	2,41
95 %	28,5 min	148,5 min	5,21
98 %	29,4 min	400,6 min	13,63

Del 45 % al 90 % la ocupación se dobla. La espera se multiplica por treinta. Y esos treinta se dejan partir en dos trozos que conviene separar.

cargar tarda el doble:  27,0 / 13,5           = ×2
la cola se dispara:     8,584 / 0,5717        = ×15
                                                ─────
                        2 × 15                 = ×30

El dos es trabajo y no tiene misterio. El quince es la cola, y es lo que nadie presupuesta. Mira además la última columna. A partir del 80 % se espera más de lo que se tarda en cargar, y ahí está el codo de la curva.

Con dos tramos cortos se ve mejor. Del 70 % al 90 % hay veinte puntos y la espera pasa de 11,7 a 65,0 minutos: se multiplica por 5,6. Del 45 % al 65 % hay los mismos veinte puntos y sube de 2,2 a 8,4. Los mismos veinte puntos cuestan 6,2 minutos abajo y 53,3 arriba: ocho veces y media más.

Esa forma ya aparece en esta escuela con otro nombre. En el nivel 5 del tronco Esperar el problema es distinguir una recta de algo que se acelera solo, y el truco es mirar cuánto crece de una fila a la siguiente. Aquí funciona igual. De 45 a 60 la espera sube 3,8 minutos. De 80 a 95 sube 124,1.

Con la ocupación baja, subirla es casi gratis. Con la ocupación alta, cada punto cuesta más que el anterior. El mismo punto de ocupación vale distinto según dónde esté, y esa es la razón de dejar hueco a propósito.

Simulador: la ocupación contra la pared

Arranca en la ventana de Pallarés: 86,7 % de ocupación, dos puertas, seis furgonetas, noventa minutos y la variabilidad que tienen hoy las cargas. La línea negra es lo que se espera. La verde es lo que se tarda en cargar. Al 45 % casi se tocan, y al 95 % la negra ya no cabe en el cuadro.

✍️ Ejercicios resueltos

Ejercicio 1 — Las dos ocupaciones, y la tercera. (a) Calcula la ocupación de la puerta en la ventana y en el día entero. (b) Explica por qué las dos son ciertas. (c) Pallarés crece y las entregas diarias pasan de 174 a 190, sin tocar la nave. ¿Qué le pasa a la ventana?

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Paso 1 — La ventana. Seis furgonetas por 26 minutos son 156 minutos de trabajo. Dos puertas por 90 minutos son 180 minutos de puerta. 156 / 180 = 86,7 %.

Paso 2 — El día. De 6:00 a 18:00 hay 720 minutos y dos puertas, o sea 1.440. El trabajo son los 156 de carga más tres recepciones de 52 minutos, 156 más. En total 312. 312 / 1.440 = 21,7 %.

Paso 3 — Por qué las dos valen. Miden lo mismo en periodos distintos. La del día sirve para decidir si hace falta una nave más grande, y dice que no. La de la ventana sirve para decidir si la salida se cumple, y dice que va justa. Usar una para lo de la otra es el error del módulo.

Paso 4 — El crecimiento. Un 9 % más de entregas es un 9 % más de cajas por furgoneta, así que la carga pasa de 26,0 a 28,4 minutos. Seis por 28,4 son 170,4 minutos sobre los mismos 180. La ocupación sube de 86,7 a 94,7 %, ocho puntos. Y las mañanas fuera de hora pasan de 33 de cada 100 a 55, con el retraso medio de 3,3 a 7,2 minutos.

Vender un 9 % más dobló el problema de la salida sin que nadie tocara la nave. El crecimiento consume holgura antes que dinero, y la holgura no aparece en ningún presupuesto.

Ejercicio 2 — Cinco formas de arreglar la ventana. Luis pide presupuesto de todo lo que se le ocurre. La hora del personal de almacén son 13,64 €, que salen de los 24.000 € anuales entre 1.760 horas. Hay 250 días de reparto al año. ¿Qué se compra?

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Paso 1 — Poner precio a cada opción. La tercera puerta son 19.000 € de obra a diez años, 1.900 € al año, más una tercera persona los 90 minutos de la ventana: 375 horas, 5.114 €. Cargar dos furgonetas la tarde anterior son 52 minutos diarios de preparador, 2.955 € al año. Igualar las cargas —rodillos montados y precintados por ruta la tarde antes— son 40 minutos diarios, 2.273 €. Empezar a las 5:45 son quince minutos de nueve personas todos los días, 7.670 €. La séptima furgoneta, 39.733 €.

Opción	Al año	Retraso medio	Mañanas tarde
No tocar nada	0 €	3,30 min	33 de 100
Igualar las cargas	2.273 €	0,57 min	13 de 100
Cargar dos la tarde antes	2.955 €	0,09 min	1 de 100
Tercera puerta	7.014 €	0,14 min	2 de 100
Empezar quince minutos antes	7.670 €	0,68 min	7 de 100
La séptima furgoneta	39.733 €	3,30 min	33 de 100

Paso 2 — Ordenar. Cargar dos furgonetas la tarde anterior deja la ventana casi perfecta por 2.955 €. La tercera puerta hace lo mismo por 7.014 €, dos veces y media más cara. Y adelantar la hora, que es lo que hace todo el mundo, es la segunda opción más cara de la lista y solo quita el 79 % del retraso.

Paso 3 — La séptima furgoneta. Cuesta 39.733 € al año y deja las dos columnas exactamente igual. Es el cuello de botella otra vez: no había escasez de furgonetas.

Paso 4 — La pega que hay que decir. Una furgoneta cargada por la tarde duerme con la mercancía dentro. Con el producto seco no pasa nada. Con el refrigerado no se puede hacer, porque la cadena de frío se rompe y eso ya no es un problema de colas. Así que la opción buena solo vale para parte de la carga, y la que la acompaña es igualar las cargas.

La opción más cara de la lista es comprar más de aquello que ya sobraba. La más barata es quitar trabajo de la franja mala y llevarlo a una franja vacía, que es gratis salvo por el rato de una persona.

Ejercicio 3 — Una puerta rápida o dos normales. Un comercial le ofrece a Luis un sistema de carga que hace una furgoneta en 13 minutos, la mitad. Solo cabe en una puerta y la otra habría que cerrarla. La ocupación no cambia: sigue en 86,7 %. ¿Gana o pierde?

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Paso 1 — Comprobar que la ocupación es la misma. Seis por 13 son 78 minutos de trabajo sobre una puerta por 90, o sea 86,7 %. Misma ocupación, misma capacidad, la mitad de sitios y el doble de velocidad.

Paso 2 — Lo que dice la fórmula. Con una puerta, Wq sale 47,6 minutos. Con dos, 44,6. La fórmula prefiere dos puertas, y tiene su motivo: con dos servidores, una carga larga no bloquea a toda la cola.

Paso 3 — Lo que dice la ventana. Simulando las mañanas de verdad, la puerta rápida acaba en 78,0 minutos de media y la pareja de puertas en 85,2. Fuera de hora, 13 mañanas de cada cien contra 33.

Paso 4 — Por qué no se contradicen. Miden dos cosas distintas. La fórmula mide el rato que una furgoneta está parada en cola. La simulación mide a qué hora termina la última, que es lo que pide el cliente. Con dos puertas se reparten seis cargas desiguales entre dos sitios, y una acaba antes que la otra: esos minutos de puerta libre al final no se recuperan. Con una sola puerta no hay reparto que desequilibrar.

Antes de comparar dos opciones, escribe qué número gana. Aquí «se espera menos» y «se termina antes» dan respuestas opuestas con los mismos datos, y solo una de las dos está en el contrato con los bares.

El hueco que sobra es lo que hace que la ventana se cumpla

Los 24 minutos de puerta libre de la ventana parecen desperdicio. Un 13,3 % de una instalación que cuesta dinero, parada. Cualquiera que mire la hoja querrá llenarlos.

Llenarlos es subir del 86,7 % al 100 %. En la tabla de arriba eso es pasar de 44,6 minutos de espera a un número que no cabe. Y en la ventana de Pallarés es pasar de 33 mañanas malas de cada cien a todas.

Por eso los sistemas que tienen que cumplir una hora se planifican con hueco. No por prudencia, sino por aritmética. La holgura no es capacidad desaprovechada: es lo que se compra para que la variabilidad no se convierta en retraso.

Y tiene una consecuencia incómoda para quien mide por ocupación. Un almacén con las puertas al 95 % está mejor gestionado que uno al 70 % si el objetivo es el coste del metro cuadrado, y bastante peor si el objetivo es la hora de salida. Los dos indicadores existen y tiran en sentidos opuestos. Elegir uno es una decisión de negocio, no un detalle técnico.

Se cruza con

• Tronco Esperar, nivel 5. El cruce declarado. Allí se enseña a ver venir algo que se acelera solo mirando cuánto crece de una fila a la siguiente. La tabla de la ocupación es ese ejercicio con minutos de espera en vez de euros de alquiler.
• Tronco Esperar, nivel 4. Lo de después vale menos que lo de ahora. Una caja que llega dos horas tarde al bar no vale lo mismo que a su hora, y esa pérdida no la recoge ningún coste de transporte.
• Tronco Medir, nivel 6. El 21,7 % del día es la media que engaña, y es verdadera. La franja es donde está el dato.
• IA · La IA dentro de la operación. Mejorar un trozo de un proceso y descubrir que el conjunto apenas se mueve es la ley de Amdahl, y aquí es la séptima furgoneta.
• Módulo 5 · El almacén. Lo que se carga en la puerta viene preparado de allí, a 0,44 € la línea. Ese módulo mide metros y minutos de preparación; este mide minutos de puerta, que es el recurso siguiente.
• Módulo 8 · La última milla. Las 1.782 entregas fallidas al año cuestan 8,69 € cada una. Salir tarde de la nave es una de las formas de fabricarlas.
• Módulo 1 de este máster. Allí la cadena multiplica fiabilidades y resta pedidos perfectos. Aquí el cuello de botella resta caudal. Un eslabón lento no baja la fiabilidad: baja el reloj.

Todo lo de este módulo cabe en una frase incómoda. Si quieres que algo salga a su hora, tienes que pagar por capacidad que no vas a usar. Lo caro no es el hueco: es descubrir en enero cuánto costaba no tenerlo.